Загадка № 3044 | Дата: 18.01.2011, 22:08 |
|---|
 Замечательный венгерский эстрадный вычислитель Ференц Патаки, способный за считанные секунды мысленно перемножить 2 трехзначных числа, выступая в 1979 г. по телевидению, продемонстрировал следующий фокус.
«Умножьте свой размер обуви на 2, добавьте к произведению 39, умножьте полученную сумму на 50, добавьте к произведению 29, отнимите из суммы год своего рождения», - попросил Патаки. К удивлению зрителей каждый из них получил четырехзначное число, две первых цифры которого означали номер обуви, а две последние - возраст зрителя в конце календарного года.
Объясните, на чем основан фокус Ференца Патаки.
[ Ответ ]
Для любых натуральных чисел а та b из допустимых множеств (размер обуви и возраст) выполняется тотожность:
[(2а+39) • 50+29] − (1979−b) = 100а+b. | |
Загадка № 3043 | Дата: 18.01.2011, 22:08 |
|---|
Один раз мы поневоле стали свидетелями следующего разговора.
- Правильно ли я тебя понял? Ты утверждаешь, что ты являешься членом шахматного клуба вдвое дольше, чем я.
- Полностью правильно.
- Но насколько я помню, раньше ты говорил, что был членом шахматного клуба втрое дольше, чем я?
- Два года тому назад? Но тогда мой стаж как члена клуба действительно был в 3 раза больше твоего, а теперь лишь в 2 раза.
Сколько лет каждый из двух собеседников являются членами шахматного клуба?
[ Ответ ]
Условия задачи позволяют записать уравнения
(x − стаж одного собеседника, y − другого):
y = 2 x,
y − 2х 3(х − 2),
откуда x = 4, y = 8.
Значит, один сотрудник в шахматном клубе уже 8 лет, другой − 4 года. | |
Загадка № 3042 | Дата: 18.01.2011, 22:08 |
|---|
В центре квадратного пруда шириной 10 шагов растет камыш, который поднимается на 1 шаг над поверхностью воды. Если, находясь на берегу водоема, притянуть камыш к середине какой-то из сторон, то он как раз достанет до края пруда.
Какая глубина пруда?
[ Ответ ]
По теореме Пифагора
х² + 5² = (x + l)²,
x²+ 25 = x² + 2x + 1
x = 12.
Глубина пруда − 12 шагов. | |
Загадка № 3041 | Дата: 18.01.2011, 22:08 |
|---|
В древней персидской легенде «История Морадбальса», которая также вошла в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной деве следующую задачу.
«Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через четверо дверей, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину яблок, которые остались. Так же она сделала и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей (с которым она сделали как и с предыдущими) то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?»
[ Ответ ]
Если х - число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х /2 яблок, второй получил х /4 яблок, третий - х/8 яблок и четвертый - х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160. Следовательно, женщина собрала в саду 160 яблок. | |
Загадка № 3040 | Дата: 18.01.2011, 22:07 |
|---|
Замечательную задачку мы можем найти в собранных много веков назад арабских сказках «1001 ночь» (ночь 458-я): «Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Голуби, которые сидели на ветвях, говорят к тем, что внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас взлетел к вам, то нас с вами стало бы поровну». Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?
[ Ответ ]
Пусть х − число голубей, что сели на дерево, а y − число голубей, что разместились под деревом. Тогда
y – 1 = (x + y) / 3
и, кроме того, х – 1 = y +1, тобто х = y + 2.
Подставляя х = y + 2 в первое уравнение, получаем
(y – 1) × 3 = y + 2 + y,
3y – 3 = 2y + 2,
y = 5.
Значит, х = y + 2 = 7.
Отсюда, 7 голубей сели на дерево, а 5 голубей разместились под деревом. | |
Загадка № 3039 | Дата: 18.01.2011, 22:07 |
|---|
Этот папирус, найденный в конце прошлого века англичанином Риндом, являет собой фрагмент другого более древнего египетского труда по математике, который относится, вероятно, к III тыс. до н.э. Приведем две задачи из папируса Ринда.
а) Какой-то математик насчитал на выгоне 70 коров. «Какую часть от всего табуна составляют эти коровы?» - спросил математик у пастуха. «Я выгнал пастись две трети от трети всего табуна», - отвечал пастух.
Сколько голов скота насчитывается во всем табуне?
Встречаются в древнем папирусе и чисто формальные задачи, например следующая:
б) Найдите х из уравнения
[(x + (2/3)x) + 1/3 (x + (2/3)x)] × 1/3 = 10.
[ Ответ ]
а) Пусть х − число голов скота во всем табуне. Тогда
(2/3)×(1/3)х = 70,
откуда после эквивалентных преобразований
(2/9)х =70, 2х = 630
находим: х = 315.
Значит, во всем табуне было 315 голов скота.
б) [(x + (2/3)x) + (1/3)x + (2/9)x] × 1/3 = 10,
[(9/9)x + (6/9)x +(3/9)x +(2/9)x] × 1/3 = 10,
(20/9)x × 1/3 = 10,
x = (10×27)/20 = 13,5. | |
Загадка № 3038 | Дата: 18.01.2011, 22:07 |
|---|
В Древней Индии математика распространялась как своего рода спорт. Для решения сложных задач устраивались соревнования в присутствии многочисленных зрителей. Некоторые индийские труды по математике были написаны как учебные пособия по проведению подобных соревнований - для повышения мастерства любителей умственного спорта. Автор одного из таких учебников писал: «Придерживаясь приведенных здесь правил, можно придумать тысячи других задач. Подобно тому, как солнце затмевает своим сиянием звезды, слава ученого человека, который сопоставил и решил задачу алгебраизма, затмевает славу других ученых в многолюдных собраниях». Весь учебник этого автора написан в стихотворениях. Приведем лишь одну из задач, но не в стихотворном, а в прозаичном варианте.
«Пчелы числом, ровным квадратному корню из полного числа их во всем рое, сели на куст жасмина, 8/9 пчел полетели обратно к рою. И только одна пчела из того же роя кружилась над цветком лотоса, притянутая жужжанием подруги, которая неосторожно попала в ловушку сладко благоухающего цветка.
Сколько всех пчел было в рое?»
[ Ответ ]
Пусть х − число пчел в рое. Тогда
x = √(x/2) + (8/9)x + 2, (1)
Обозначив √(x/2) ) через y, преобразуем уравнение (1) (так как y² = х/2, или х=2y²) к виду
y + (16/9)y²+ 2 = 2y², (2)
2y² – 9y – 18 = 0,
откуда
y1 = 6, y2 = −3/2.
Этим значениям у соответствуют следующие значения х: х1 = 72, х2 = 4,5. Так как число пчел в рое может быть только натуральным числом, тогда:
√(72/2) + (8/9)×72 + 2 = 72.
Значит, в рое было 72 пчелы. | |
Загадка № 3037 | Дата: 18.01.2011, 22:06 |
|---|
На часах Клауса минутные деления нанесено небольшими штрихами. Глянув на часы на шестом часу после полудня, Клаус обнаружил, что большая стрелка отстает от малой на 3 деления.
Сколько было на часах?
[ Ответ ]
В 5.00 минутную стрелку отделяют от часовой 25 минутных делений. В тот момент, когда Клаус глянул на часы, длинная стрелка отставала от малой лишь на 3 деления и, следовательно, успела пройти 22 деления. За 1 мин. длинная стрелка проходит 1 деление, а малая 1/12 делений. Следовательно, за 1 мин. минутная стрелка догоняет часовую на 1 - 1/12 = 11/12 делений, а для того, чтобы пройти 22 деления, минутной стрелке понадобится 22 : (11/12) = 24 мин.
Следовательно, Клаус глянул на часы в 5.24. | |
Загадка № 3036 | Дата: 18.01.2011, 22:06 |
|---|
Стрелки часов только что совпали. Через сколько минут они будут «смотреть» в противоположные стороны?
[ Ответ ]
Пусть х - промежуток времени (в минутах), которое должно пройти прежде, чем стрелки расположатся на одной прямой и будут направлены в противоположные стороны. Минутная стрелка успеет пройти за это время х минутных делений циферблата, а часовая - х/12 минутных делений. Когда стрелки расположатся на одной прямой и будут направлены в противоположные стороны, их будут разделять 30 минутных делений циферблата.
Следовательно, в это время:
x – x/12 = 30,
откуда х = 32 (8/11).
Через 32 (8/11) мин. после того, как минутная и часовая стрелки совпадут, они будут «смотреть» в противоположные стороны. | |
Загадка № 3035 | Дата: 18.01.2011, 22:06 |
|---|
Сколько раз на протяжении суток минутная и часовая стрелки часов образуют прямой угол?
[ Ответ ]
За 1 час часовая стрелка описывает угол 30°, а за 1 мин. − угол 0,5°. Минутная стрелка за 1 мин. описывает угол 6°. Так как 90 : (6 − 0,5) = 16 (4 / 11), минутная и часовая стрелки образуют прямой угол в первый раз через 16 (4 / 11) мин. после того, как обе будут стоять на 12. Так как n × 16 (4/11) = 24 × 60, мы получаем n = 88 (в это число входят углы в 0°, 90°, 180° і 270°, образованные минутной и часовой стрелками).
На протяжении суток минутная и часовая стрелки образуют прямой угол 44 раза. | |
Загадка № 3034 | Дата: 18.01.2011, 22:06 |
|---|
Минутная стрелка часов имеет длину 2 см, а часовая - 1,5 см. Найти отношения скоростей, с которыми двигаются концы стрелок.
[ Ответ ]
Пусть v1 − линейная скорость конца минутной стрелки, a v2 − часовой. Тогда
v1 = s1/t1 = 2πr1/t1 = 2π. 2/1 = 4π см/час,
v2 = s2/t2 = 2πr2/t2 = 2π. 1,5/12 = π/4 см/час,
v1:v2 = 4π:π/4 = 16:1.
А значит, конец минутной стрелки движется в 16 раз быстрее, чем конец часовой стрелки. | |
Загадка № 3033 | Дата: 18.01.2011, 22:06 |
|---|
Длина и 1/4 ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе - 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина отдельно?
[ Ответ ]
Пусть ширина составляет х ладоней, длина − y ладоней. Тогда
(x/4) + y = 7, (1)
х + у = 10, (2)
х = 10 − у. (2')
Подставляя (2') в (1), получаем
(10−y)/4 + y = 7,
у = 6.
Потом из (1) находим
(x/4) + 6 = 7, x = 4. | |
Загадка № 3032 | Дата: 18.01.2011, 22:05 |
|---|
На часах ровно 9. Через сколько минут стрелки часов (минутная и часовая) совпадут?
[ Ответ ]
Если часовая стрелка до того, как обе стрелки совпадут, успеет пройти х минутных делений, то минутная стрелка за то же время пройдет (45+x) минутных делений. Из-за того, что за одно и то же время часовая стрелка проходит 1/12 того, что проходит минутная, мы можем составить уравнение х=(45+x)/12, откуда х = 4 целых и (1/11).
Минутная стрелка совпадает с часовой через 49 целых и (1/11) хв. | |
Загадка № 3031 | Дата: 18.01.2011, 22:05 |
|---|
Нам обоим вместе 63 года. В настоящий момент мне лет вдвое больше, чем вам было тогда, когда мне было столько лет, сколько вам в настоящий момент.
Сколько мне лет и сколько вам лет?
[ Ответ ]
В настоящий момент мне 36, а вам 27. А когда-то мне было 27, а вам 18. | |
Загадка № 3030 | Дата: 18.01.2011, 22:05 |
|---|
В одном буддийском храме на высоте 100 метров к потолку приделаны два золотых каната, длиной по 100 метров каждый.
Оба каната свисают до пола. Они висят на близком расстоянии, например, - полметра. В храм заходит Вор - ловкий акробат, который умеет лазить по канатам и отрезать их. Если Вор свалится на землю с высоты менее 10 метров, то он доволен. Если с большей высоты – умирает (лечение ему уже не поможет).
Как ему удалось забрать из храма не менее 190 метров золотого каната, а не только 110? (канаты считать легкими).
[ Ответ ]
Влезает по одному из канатов на высоту 95 метров и отрезает от другого 95 метров. Часть в 5 метров, которая осталась висеть, привязывает к первому канату в точке деления на 5 и 95 метров. Выходит, петля создана связанными 5 метрами первого каната и 5 метрами второго каната. После чего, свободный конец полученного 195 метрового каната пропускает через петлю. Вверху он режет первый канат в точке 5 и 95 метров. Выходит, что через петлю 10 метров свисает канат длиной 190 метров. Вор спускается вниз и забирает 190 метров. | |
Загадка № 3029 | Дата: 18.01.2011, 22:05 |
|---|
Три года назад Настя была в 7 раз старше своей сестры Вероники. Два года назад Настя была в 4 раза старше Вероника. Год назад Настя была в 3 раза старше Вероника.
Сколько лет Насте и Веронике?
[ Ответ ]
Насте 10 лет, а Веронике 4 года. Доказательство: пусть в настоящий момент Насте x лет, а Веронике y. Тогда, три года назад можно было бы записать: x-3=7*(y-3), два года тому назад: x-2=4*(y-2), год назад: x-1=3*(y-1). Из последнего уравнения выплывает, что x=3*y-2. Подставляя это во второе уравнение, получаем: 3*y-2-2=4*(y-2) откуда y=4. Подставляя значение y в уравнение для x, получаем: x=3*4-2=10. | |
Загадка № 3028 | Дата: 18.01.2011, 22:04 |
|---|
Для взвешивания товара продавец пользуется чашечными весами и четырьмя гирями общим весом 40 кг. Причем, используя разные комбинации гирь, можно взвесить любой груз, масса которого выражается целым числом килограммов (от 1 до 40 кг).
Сколько весит каждая гиря?
[ Ответ ]
Гири весом в 27, 9, 3 й 1кг. | |
Загадка № 3027 | Дата: 18.01.2011, 22:04 |
|---|
Пильщики разрезают колоду на метровые отрезки. Длина колоды 5 метров. Распилка колоды поперек занимает каждый раз 1,5 минуты времени.
Сколько времени пошло на разрезание всей колоды?
[ Ответ ]
Поскольку, для разделения 5 метровой колоды на метровые отрезки необходимо 4 разреза, то необходимо всего времени 6 минут.
| |
Загадка № 3026 | Дата: 18.01.2011, 22:04 |
|---|
В месяце три воскресенья выпали на парные числа. Какой день недели был седьмого числа этого месяца?
[ Ответ ]
Пятница. Воскресенья выпадут на числа: 2, 9, 16, 23, 30. | |
|
