Три учительницы безмятежно болтали, сидя на скамейке во время перемены. Они так увлеклись разговором, что не заметили, как расшалившиеся дети прикрепили им на спины наклейки. Поднявшись со скамьи, все три начали смеяться. Каждая из них с удовольствием думала, что две из ее коллег смеются друг над другом, тогда как она сама не стала жертвой шалунов. Внезапно одна из учительниц перестала смеяться: она поняла, что у нее самой есть наклейка на спине. Как она пришла к этому выводу?

Ответ: пусть А, В и С — три учительницы. А сказала себе: «В видит, что С смеется. Но В не знает, что у нее наклейка на спине. Значит, если бы у меня не было наклейки на спине, то В должна была бы удивиться, почему смеется С, и вывести отсюда, что у нее тоже приклеена наклейка на спине. Но этого не происходит, В продолжает от души смеяться, не обнаружив, что находится у нее на спине. Поэтому невозможно, чтобы у меня на спине не было наклейки. Внезапно поняв это, А, конечно, перестала смеяться.

Одного бригадира полеводческой бригады спросили, сколько у него в бригаде людей. Он ответил довольно замысловато:
— Людей немного: три четверти нас да еще три четверти человека — вот и всего у нас людей.
Можете ли вы разгадать, сколько человек было в этой бригаде?

Ответ: мы знаем, что три четверти бригады да еще три четверти человека составляют всю бригаду. Значит, эти три четверти человека есть недостающая четверть бригады. Далее уже легко сообразить, что полная бригада в четыре раза больше, чем три четверти человека. Но три четверти человека, взятые четыре раза, составляют три. Итак, в бригаде было всего три человека.

Вы видите здесь три числа, подписанные одно под другим:
111
777
999
Надо зачеркнуть шесть цифр так, чтобы оставшиеся числа составляли вместе 20. Можете ли вы это сделать?

Ответ: вот как это надо сделать (зачеркнутые цифры заменены нулями):
011
000
009
Действительно, 11+9 = 20

Следующая колонка из пяти строк заключает 15 нечетных цифр:
1 1 1
3 3 3
5 5 5
7 7 7
9 9 9
Задача состоит в том, чтобы зачеркнуть девять цифр, выбрав их с особым расчетом: складывая столбцы оставшихся шести цифр, вы должны получить в сумме 1111.

Ответ: задача допускает несколько решений. Приводим четыре образчика, заменив зачеркнутые цифры нулями:
100 111 011 101
000 030 330 303
005 000 000 000
007 070 770 707
999 900 000 000
1111 1111 1111 1111

Колхозник ехал в город. Первую половину пути он проехал в поезде — в 15 раз быстрее, чем если бы он шел пешком. Однако вторую половину пути ему пришлось проехать на волах — в два раза медленнее, чем, если бы он шел пешком.
Сколько времени он все же выгадал по сравнению с ходьбой пешком?

Ответ: колхозник ничего не выгадал, а потерял. На вторую половину дороги он употребил столько времени, сколько отняло бы у него все путешествие в город пешком. Значит, он выгадать во времени не может, а должен потерять.
Потерял он 1/15 того времени, какое нужно, чтобы пройти пешком половину дороги

В воскресенье месье Дюпон, как всегда, отправился прогуляться. Тем временем его жена тщетно пыталась решить, догадается ли он купить пирог и не придется ли ей самой идти за ним в кондитерскую. В конце кон- 16 цов она спросила сына: «Ты не знаешь, собирался ли папа купить пирог?» Однако ребенок, прогнозируя поведение отца, ошибается один раз из трех. Кроме того, мадам Дюпон считает, что если ребенок совсем останется без сладкого, это будет в два раза хуже, чем если он получит сразу два пирога. Как бы вы посоветовали поступить мадам Дюпон: пойти самой купить пирог независимо от того, что скажет сын, или же пойти за пирогом лишь в том случае, если мальчик скажет, что отец не собирался его покупать?

Ответ: пусть огорчение, связанное с тем, что куплено два пирога вместо одного, мадам Дюпон оценивает величиной а. Тогда, становясь на позицию своего сына, она должна оценить огорчение, вызванное тем, что не куплено ни одного пирога, величиной 2а. Отправляясь сама в кондитерскую, мадам Дюпон рискует получить огорчение а с вероятностью 1/2 (поскольку она заранее ничего не может знать о том, купит ли ее муж пирог или нет, и считает шансы этих двух событий одинаковыми). В среднем нежелательный эффект от похода мадам Дюпон в кондитерскую оценивается величиной а/2. Послушавшись сына, она ошибется в одном случае из трех. При этом нежелательный эффект ее ошибки с равной вероятностью оценивается величиной а и величиной 2а (поскольку прогноз сына оказывается неверным один раз из трех как в том случае, когда отец не купит пирог, так и в том, если он его покупает). Просуммировав величины 1/3-1/2*а и 1/3*1/2*2а, мы получим среднюю величину возможной неудачи: (1/6)а+(1/3)а=а/2. Таким образом, как бы ни поступила мадам Дюпон, риск будет одним и тем же, оба способа действия в точности эквивалентны.

Попросите товарища задумать какое-нибудь многозначное число и проделать следующее:
записать задуманное число,
переставить цифры в любом порядке,
вычесть меньшее число из большего,
одну из цифр разности зачеркнуть ( но не нуль ),
остальные цифры сообщить вам в каком угодно порядке.
В ответ вы называете товарищу зачеркнутую им цифру.
Пример. Товарищ задумал число 3857. Он проделал затем следующее:
3857, 8735, 8735 — 3857 – 4878. Зачеркнув цифру 7, товарищ называет вам остальные цифры в таком, например, порядке:
8, 4, 8. По этим цифрам вы можете определить зачеркнутую. Что вы должны для этого сделать?

Ответ: кто знает вывод признака делимости на 9, тому известно, что сумма цифр всякого числа дает при делении на 9 тот же остаток, как и самое число. У двух чисел, составленных из одних и тех же цифр, но и в ином порядке, должны поэтому получаться одинаковые остатки от деления на 9. Значит, если из одного вычесть другое, то разность будет делиться на 9 без остатка (равные остатки дадут при вычитании нуль).
На основании сказанного вы можете знать, что ваш товарищ получил в результате вычитания число, сумма цифр которого кратна 9. Так как сообщенные вам цифры 8, 4, 8 дают в сумме 20, то зачеркнута была, очевидно, цифра 7, в сумме с которой 20 делится на 9.

Мне пришлось слышать в вагоне такой разговор между двумя пассажирами:
— Так ты, значит, состоишь в профсоюзе вдвое дольше меня?
— Да, ровно вдвое.
— А помнится, ты говорил раньше, что втрое.
— Два года назад? Тогда и было втрое, а теперь только вдвое.
Сколько лет каждый из них состоит в профсоюзе?

Ответ: один состоит в профсоюзе восемь лет, другой — четыре года. Два года назад стаж первого был шесть лет, второго — два года, то есть втрое меньше (задача легко решается с помощью уравнения).

Вот также старинная задача, которую любили задавать друг другу законники Древнего Рима. Вдова обязана оставшееся после мужа наследство в 3500 рублей разделить с ребенком, который должен родиться. Если это будет сын, то мать, по римским законам, получает половину сыновней доли. Если родится дочь, то мать получает двойную долю дочери. Но случилось так, что родились близнецы — сын и дочь.
Как следует разделить наследство, чтобы были выполнены все требования закона?

Ответ: вдова должна получить 1000 рублей, сын — 2000 рублей, дочь — 500 рублей. Тогда воля завещателя будет исполнена, потому что вдова получит вдвое меньше сына и вдвое больше дочери.

В одной школе учитель задал вопрос: какой высоты получился бы столб, если бы поставить один на другой все миллиметровые кубики, заключающиеся в кубическом метре?
— Это было бы выше Эйфелевой башни (300 метров)!— воскликнул один школьник.
— Даже выше Монблана (5 километров)! — ответил другой.
Кто из них ошибался больше?

Ответ: оба ответа далеки от истины, потому что столб получился бы в 100 раз выше самой высокой горы на Земле. Действительно, в кубическом метре 1000 х 1000 х 1000, то есть миллиард кубических миллиметров. Поставленные один на другой, они образовали бы столб высотой 1 000 000 000 мм, или 1 000 000 м, или 1 000 км.

Поезд везут два паровоза: один — впереди состава, другой — сзади. А думали ли вы, что при этом происходит со сцепкой вагонов и с буферами? Передний паровоз увлекает за собой вагоны лишь тогда, когда их сцепка натянута; но при этом буфера не соприкасаются, и задний паровоз не может толкать вагоны. Наоборот, когда задний паровоз толкает состав, буфера напирают друг на друга, сцепка же не натянута, а потому работа переднего паровоза бесполезна.
Выходит, что оба паровоза не могут одновременно двигать поезд: с.пользой работает либо один, либо другой паровоз.
Для чего же прицепляют два паровоза?

Ответ: передний паровоз тянет не весь состав, а только часть его, примерно половину вагонов. Остальные вагоны подталкиваются задним паровозом. У первой части состава сцепка вагонов натянута, у остальной она свободна, и вагоны упираются буфер в буфер.

Однажды русский человек, хорошо знавший английский язык, «проголосовал» на шоссе и сел в машину, где находились отец, мать и дочь, которые, как я быстро сообразил, были англичанами и говорили только по-английски. Каждая произнесенная кем-то из них фраза имела два смысла, и русский не мог решить, каков смысл фразы на самом деле. Вот, что они говорили (второй возможный смысл указан в скобках).
Отец; Мы отправляемся в Испанию (мы едем из Ньюкасла).
Мать; Мы не отправляемся в Испанию, а едем из Ньюкасла (мы остановились в Париже и не отправляемся в Испанию).
Дочь; Мы не едем из Ньюкасла (мы остановились в Париже).
Что можно сказать об этом милом английском семействе?

Ответ: заметим сначала, что, судя по словам матери (какой бы смысл они не имели), эта семья не отправляется в Испанию. Значит, фразе отца приходится придать второй из двух возможных смыслов: они едут из Ньюкасла. Следовательно, нужно придать второй возможный смысл и фразе дочери: они остановились в Париже. Итак, это они едут из Ньюкасла, остановилось в Париже, но не отправляются в Испанию.

Каждая мать семерых детей, знающая английский язык, носит шиньон, даже если она в очках. Каждая женщина в очках имеет семерых детей или говорит по-английски. Никакая женщина, не имеющая семерых детей, не носит очки, если только у нее нет шиньона. Каждая женщина, у которой есть семь детей и которая носит очки, знает английский язык. Ни у одной женщины, носящей шиньон, нет семерых детей.
Если каждое из этих пяти утверждений верно, то что вы могли бы сказать о тех из женщин, которые носят очки?

Ответ: из пятой фразы мы узнаем, что если женщина — мать семерых детей, то она не носит шиньон. В первой фразе говорится, что каждая мать семерых детей, знающая английский язык, носит шиньон: значит, никакая мать семерых детей не говорит по-английски. Но в четвертой фразе утверждается, что каждая мать семерых детей, носящая очки, говорит по-английски; поэтому среди женщин, носящих очки, нет ни одной матери семерых детей. Но в таком случае из второй фразы мы можем заключить, что все женщины, носящие очки, знают английский язык, а из третьей — что они носят также и шиньон.
В итоге, если утверждения всех пяти фраз верны, то все женщины, которые носят очки, знают английский язык, носят шиньон, но ни у одной из них нет семерых детей.

Трое друзей состязались в стрельбе по мишени.
— Держу пари,— сказал первый перед началом состязания,— что по меньшей мере один из вас двоих не попадет в цель с первого раза.
— Держу пари,— ответил ему второй,— что если тебе удастся первый выстрел, то ты выиграешь свое пари.
— А я,— сказал тогда третий,— я просто держу пари, что каждый из нас троих попадет в цель с первого раза.
Они выстрелили. Могло ли случится так, чтобы второй и третий стрелки одновременно выиграли или одновременно проиграли свое пари?

Ответ: возможны три различных предположения:
С1 первый стрелок попал в цель с первого выстрела;
С2: второй стрелок попал в цель с первого выстрела;
С3: третий стрелок попал в цель с первого выстрела.
Второй стрелок сказал, что если С1 верно, то С3 и С3 не могут иметь место одновременно. Значит, он проиграет свое пари в том и только том случае, если и С1 и С2, и С3 будут верны, т. е. если выиграет свое пари третий стрелок. Таким образом, невозможно, чтобы второй и третий стрелки одновременно выиграли или одновременно проиграли пари.

На одном берегу реки стоят четыре человека и у берега пришвартована лодка. Всем им нужно перебраться на другой берег реки. Известно, что один из них может переправится за 1 час, второй за 2 часа, третий за 5 часов, а четвертый за 10 часов. В лодку могут сеть одновременно не более 2х человек. Если в лодке находятся двое, то время переправы следует считать так будто переправлялся тот, чье время переправы дольше. Переправится нужно всем не более чем за 18 часов. Лодка сама не перемещается с берега на берег, в ней должен кто-то быть.
Как им поступить?

Ответ: обозначим желающих переправится по их длительности переправы через речку: 1, 2, 5 и 10. Тогда переправляться можно таким образом:
1) 1 и 2 (потеря 2 часа);
2) 1 возвращается (потеря 1 час);
3) 5 и 10 (потеря 10 часов);
4) 2 возвращается (потеря 2 часа);
5) 1 и 2 (потеря 2 часа).
Итого выходит, что необходимо всего времени 2+1+10+2+2 = 17 часов, следовательно, условие выполняется.

Отец по имени Николай с сыном и отец по имени Петр с сыном отправились удить рыбу. Число рыб, пойманных Николаем, оканчивается на 2, а число рыб, пойманных его сыном, – на 3, число рыб, пойманных Петром, также оканчивается на 3, а число рыб, пойманных его сыном,– на 4. Число рыб, пойманных нашими рыболовами вместе, совпадает с квадратом некоторого натурального числа. Как зовут сына Николая?

Ответ: так как сумма последних цифр 2+3+3+4=12 оканчивается на 2 и не существует квадрата натурального числа, который бы оканчивался на 2, речь идет не о четырех, а лишь о трех рыболовах, т. е. сын одного из любителей рыбной ловли одновременно является отцом другого (2+3+4=9). Николай не может быть сыном Петра, так как улов Николая оканчивается на 2, а не на 4, как того требуют условия задачи. Следовательно, Петр сын Николая.

На обочине шоссе стоят километровые столбы. Шоссе ведет из пункта A в пункт В. На каждом столбе написано расстояние в километрах как от пункта А, так и от пункта В. Расстояние от A до В составляет 999 км. Какое количество километровых столбов, на которых для обоих надписей использованы только 2 разные цифры?

Ответ: пусть а и b – разные цифры. Тогда из них можно составить следующие надписи на километровых столбах:
(aab) или (9 – а, 9 – а, 9 – b); (aba) или (9 – а, 9 – b, 9 – а); (baa) или (9 – b, 9 – а, 9 – а);
(ааа) или (9 – а, 9 – а, 9 – а); (bbb) или (9 – b, 9 – b, 9 – b).
Так как по условию задачи разными должны быть только 2 цифры, везде должно быть равенство b = 9 – а. Перечислить все 40 возможных случаев после того, как уставновлено это соотношение, нетрудно.

Диаметр глубокого круглого озера равен 200 метров, посередине озера находится остров, на котором растет дерево. На берегу также есть дерево. Человек хочет попасть с берега на остров, плавать он не умеет, но у него есть веревка длиной немного более 200 метров. Как ей попасть на остров с помощью веревки?

Ответ: человек может привязать один конец веревки к дереву на берегу, а потом, держа в руках другой конец веревки, обойти озеро кругом, после чего привязать к тому же дереву и другой конец. Теперь между двумя деревьями натянута двойная веревка, держась за которую человек сможет перебраться на остров.

Знаменитый фермер Джон Коу имел репутацию весьма эксцентричного джентльмена. Составляя план постройки новых загонов для своих девяти телок-рекордсменок, он велел своим работникам построить четыре загона, причем в каждом из них должно располагаться нечетное количество животных. Интересно, удалось ли работникам выполнить условие придирчивого хозяина?

Ответ: работники построили три загона и поместили в каждый по три телки. Затем они построили четвертый загон вокруг первых трех. Таким образом, во всех четырех загонах оказалось нечетное количество животных.