Молодому лаборанту в аптеке было поручено приготовить 12%-ный раствор лекарства. В тот момент в аптеке были только 3%-ный и 30%-ный растворы. Когда пришло время выдавать готовое лекарство, лаборант признался, что не смог подобрать нужной пропорции. А на самом деле она оказалась очень простой. Какова все же пропорция?

Ответ: пусть для составления 12%-ной смеси требуется взять х граммов 3%-ного раствора и у граммов 30%-ного. Чистого лекарства тогда в этих порциях будет соответственно 0,03х и 0,3у, а всего 0,03х + 0,3у. В результате смешивания получается (х + у) граммов раствора, в котором чистого лекарства должно быть 0.12(х + у). Таким образом,
0,03х + 0,3у = 0,12(х + .у).
После преобразования этого уравнения получается, что х = 2у, т. е. 3%-ного раствора лекарства надо взять вдвое больше, чем 30%-ного.

Существует такой исторический анекдот. Изабелла и Фердинанд, короли Испании, предложили Колумбу, когда он просил их покровительства для организации экспедиции, старинную задачу на сообразительность: поставить яйцо на стол так, чтобы оно удерживалось вертикально. Колумб задачу решил, а вы?

Ответ: Колумб пристукнул по столу той его вершиной, где был воздушный пузырь, так что яйцо надломилось, но не вытекло (отсюда и пошло выражение «колумбово яйцо» как неожиданное и остроумное решение.) Но мы сейчас можем добавить, что было и второе решение: яйцо надо было закрутить как волчок.

В центре поля, имеющего форму квадрата, находится волк, а в вершинах квадрата — четыре собаки. Волк может бегать по всему полю, а собаки — только по его сторонам. Известно, что волк задирает собаку, а две собаки задирают волка. Максимальная скорость каждой собаки в полтора раза больше максимальной скорости волка. Докажите, что собаки имеют возможность не выпустить волка за пределы поля.

Ответ: пусть v — максимальная скорость волка. Проведём через точку B, в которой находится волк, две прямые, параллельные диагоналям квадрата. Пусть эти прямые пересекают контур квадрата в точках C1, C2, C3 и C4. Поскольку скорость перемещения каждой из точек C1, C2, C3 и C4 не больше чем v√2<1,5v, то собаки смогут в каждый момент времени находиться в этих четырёх точках и, следовательно, не выпустят волка за пределы поля.

По пути домой управляющий банком увидел в канаве пятидесятидолларовый банкнот. Он поднял находку, запомнил номер, чтобы потом сыграть в лотерею, и положил в карман. Когда он пришел домой, жена показала ему счет от мясника ровно на 50$. Улыбнувшись, он дал ей найденные деньги, и на следующий день она заплатила мяснику. В свою очередь, мясник отдал эти деньги фермеру, который поставлял ему мясо. Фермер заплатил этой купюрой местному продавцу, который отдал ее своей уборщице. Уборщица же заплатила ею за превышение своего кредита в банке.
Случилось так, что уборщица была клиенткой именно того банка, менеджер которого нашел банкнот и начал своими действиями всю эту историю. Он помнил номер купюры, теперь узнал ее и обнаружил, что она фальшивая! Что было потеряно во всех эти передачах и кем?

Ответ: так как один и тот же фальшивый банкнот использовался во всех передачах, то все они недействительны. Но, поняв что случилось, управляющий просто положил в приходную кассу банка свои собственные деньги и тем самым спас уборщицу от потери. Управляющий ничего не потерял, ибо, заплатив мяснику, получил от него товар. А "находка" в 50$ просто исчезла.

Выберем наугад 24 человека. Какова, по вашему мнению, вероятность того, что двое или большее число из них родились в один и тот же день одного и того же месяца (но, быть может, в разные годы)?

Ответ: вероятность того, что дни рождения любых двух людей не совпадают, очевидно, равна 364/365 (поскольку лишь в одном случае из 365 возможных дни рождения совпадают). Вероятность несовпадения дня рождения третьего человека с днем рождения любых двух других членов отобранной группы составляет 363/365. Для четвертого человека вероятность того, что его день рождения отличается от дней рождения любых трех людей, равна 362/365 и т. д. Дойдя до двадцать четвертого участника эксперимента, мы увидим, что вероятность несовпадения его дня рождения с днями рождения остальных двадцати трех участников равна 342/365. Таким образом, мы получаем набор из 23 дробей. Перемножив их, мы найдем вероятность того, что все 24 дня рождения различны. Сократив числитель и знаменатель произведения двадцати четырех дробей и округлив полученное число, мы получим дробь 23/50. Иначе говоря, заключая пари на то, что среди 24 по крайней мере двое родились в один и тот же день, вы будете выигрывать в 27 и проигрывать в 23 случаях из 50.
Проведенный нами подсчет вероятности не совсем точен, он не учитывает того, что год может быть високосным - то есть в феврале может быть 29 дней - и что дни рождения чаще приходятся на одни месяцы и реже на другие. Первое обстоятельство уменьшает вероятность интересующего нас события, второе - увеличивает.

Идет посадка в 100-местный самолет. В очеpедь выстpоились 100 пассажиpов. Пеpвой стоит сyмасшедшая стаpyшка. Зайдя в салон, она садится на любое слyчайно выбpанное место. Остальные пассажиpы - ноpмальные люди: каждый из них, зайдя в салон, садится на свое (обозначенное в билете) место, если оно свободно, и на любое из свободных - в пpотивном слyчае. Какова веpоятность, что последний в очеpеди пассажиp сядет на свое место?

Ответ: пусть имеем N пассажиров. Для N=2, очевидно, вероятность равна Р(2)=1/2. Для больших значений N рассмотрим рекурсивную схему: Пусть для определённости k-й пассажир должен по билету садиться на место номер N+1-k. Сумасшедшая старушка с вероятностью 1/N сядет на своё N-е место. Тогда все рассядутся на свои места С вероятностью 1/N старушка может сесть на место номер m в диапазоне от 2-го до N-1-го. Тогда задача превращается в аналогичную с числом пассажиров равным m. При этом пассажир, который должен был садиться на m-ное место превращается в сумасшедшую старушку приписанную к месту номер N (к последнему свободному месту, которое было приготовлено для первой старушки). С вероятностью 1/N старушка сядет на первое место. Тогда последний пассажир попадёт на своё место только причинив ей тяжкие телесные повреждения. То есть имеем формулу: Р(N) = 1/N * (1 + Р(N-1) + Р(N-2) + ... + Р(2)) Воспользовавшись достижениями современного научно-технического прогресса получаем, что Р(100)=1/2 (как, впрочем, и для любого другого значения N>1).

Считается, что есть веская причина, по которой у птичьих яиц один конец тупее другого. Что это за причина?

Ответ: сферические и овальные яйца катились бы по прямой. Асимметричные же яйца, у которых один конец тупее, а другой острее, при скатывании стремятся катиться по кругу. Если яйцо лежит на краю обрыва или в другом ненадежном месте, стремление катиться по кругу, а не по прямой — большое преимущество.

У вас есть два шнура, каждый из которых горит по часу, но горит неравномерно. Как при помощи этих двух шнуров и спичек отмерить 45 минут?

Ответ: необходимо поджечь первый шнур одновременно с обоих концов - получаем 30 минут. Одновременно с первым шнуром поджигаем второй шнур с одного конца, и когда первый шнур догорит (30 минут),- поджигаем второй шнур с другого конца (оставшиеся 15 минут)

Что необычного в предложении "The quick brown fox jumps over the lazy dog"? (Перевод: быстрая коричневая лиса перепрыгнула через ленивую собаку).

Ответ: это предложение содержит все буквы английского алфавита

Отправляясь в путешествие, автомобилист поставил на свою машину четыре новые шины и одну взял в запас. Какое максимальное расстояние он сможет проехать, если известно, что шины на передних колесах снашиваются через 45000 км, а на задних - через 55000км?

Ответ: пусть машина проехала x км. На каждом километре на одном переднем колесе изнашивается 1/45000 часть одной шины, а на заднем - соответственно 1/55000 часть шины. Проехав x км, автомобилист израсходует 2x/45000 + 2x/55000 части от одной шины. А поскольку у нас было 5 шин, то получаем уравнение 2x/45000 + 2x/55000 = 5 (точнее было поставить знак неравенства: левая часть не превосходит правую. Понятно, что наибольшее значение x будет иметь при равенстве) Далее находим x = 61875км.

Это случится в тот день, послезавтра которого станет вчерашним днем для того сегодня, которое будет настолько же далеко от воскресенья, как от него тот день, который был сегодняшним, а позавчерашний - завтрашним...
Когда это случится?

Ответ: заветное событие состоится в воскресенье.

Докажите, что найдется число, записываемое одними единицами и делящееся на 1999.

Ответ: рассмотрим последовательность чисел 1, 11, 111, ... Допустим, что ни одно из них не делится на 1999. Поскольку остатки от деления этих чисел на 1999 могут равняться числам от 1 до 1998, то найдутся среди последовательности два числа, дающие при делении на 1999 одинаковые остатки. Тогда их разность делится на 1999. Откинув в этой разности нули, т.е. разделив на степень 10 - число, взаимно простое с 1999, получим число из одних единиц, делящееся на 1999.

A, B и С участвуют в тpеугольной дуэли на пистолетах. Все знают, что веpоятность того, что A попадет, равна 0.3. Веpоятность того, что попадет С - 0.5, а B никогда не пpомахивается. Они стpеляют по своим выбpанным целям по очеpеди (pаненый выбывает) до тех поp, пока не останется только один человек.
Какую стpатегию должен пpименить A? (A стреляет первым)

Ответ: выстрел в воздух. После этого B невыгодно стрелять в A, потому что после смерти A B будет убит с вероятностью 0.5, а после смерти C - только с вероятностью 0.3. Поэтому B убивает C, а затем A стреляет в B и выигрывает с вероятностью 0.3 Если же в начале А выстрелит в B или в C, то его шансы на выигрыш ниже.

Эта игpа является самым пpостым из многочисленных ваpиантов дpевней восточной игpы Hим. Hа столе лежит колода каpт, все каpты на месте. Каждый игpок по очеpеди беpёт из колоды пpоизвольное количество каpт, но не более тpёх. Выигpывает тот, кто забpал из колоды последние каpты (или каpту). В одном из pозыгpышей победил тот игpок, котоpый ходил пеpвым, пpичем он был увеpен в выигpыше с самого начала.
Опpеделите, какая была колода - пикетная (32 каpты), сpедняя (36 каpт), или полная (54 каpты)? Объясните свое pешение.

Ответ: пpавильная стpатегия - всегда оставлять в колоде число каpт, кpатное четыpём. Выгpывает начинающий игpок в том случае, если в колоде 54 каpты. Пеpвым ходом он беpет две каpты, а затем, если сопеpник пpи ходе беpет n каpт, он всегда должен бpать 4 - n. Если же в колоде 32 или 36 каpт, пpи пpавильной игpе сопеpника начинающий пpоигpывает.

В бутылке, чашке, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом (рядом с ними), в банке не лимонад и не вода. Чашка стоит около банки и сосуда с молоком.
Где находится квас?

Ответ: в чашке

В семье четверо детей. Им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на три.

Ответ: Аня - 13, Боря - 8, Вера - 5, Галя - 15

Шесть школьников, участвуя в воскреснике, разбились на три бригады. Бригадиров звали: Володя, Петя, Вася. Володе с Мишей дали двухметровые, Пете с Костей - полутораметровые, а Васе с Алешей - метровые бревна, и они каждое бревно распиливали полностью на полуметровые поленья. В стенгазете отметили, что бригадир Лавров с Рожковым напилили 26, бригадир Галкин с Комковым - 27, а бригадир Козлов с Евдокимовым - 28 поленьев.
Как зовут Комкова?

Ответ: Костя.

Однажды на отдыхе за круглым столом оказались пятеро ребят родом из Москвы, Санкт-Петербурга, Новгорода, Перми и Томска: Юра, Толя, Алеша, Коля и Витя. Москвич сидел между томичом и Витей, санкт-петербуржец - между Юрой и Толей, а напротив него сидели пермяк и Алеша. Коля никогда не был в Санкт-Петербурге, а Юра не бывал в Москве и Томске, а томич с Толей регулярно переписываются.
Определите, в каком городе живет каждый из ребят.

Ответ: Толя живет в Москве, Витя - в Санкт-Петербурге, Юра - в Новгороде, Коля - в Перми, а Алеша - в Томске.

Восемь детей разделили между собой 32 яблока следующим образом. Энн получила 1 яблоко, Мэй – 2, Джейн – 3 и Кэт – 4. Нед Смит взял столько же яблок сколько и его сестры, Тому Брауну досталось вдвое больше яблок, чем его сестре, Биллу Джонсу – втрое больше чем его сестре, и, наконец, Джек Робинсон получил яблок вчетверо больше, чем его сестра. Назовите фамилии четырех девочек.

Ответ: четырех девочек звали Энн Джонс, Мэй Робинсон, Джейн Смит и Кэт Браун.